摘要:如圖11.4-1所示，構件1上有曲線C1和K,1;構件 2上有曲線C2和K2。當C1和C2作純滾動時,K1和K2 始終相切，并且作連滾帶滑的運動。C1、C2為一對瞬心 線，而K1、K2 ,凡則為一對共軛曲線。共扼曲線有互為包 絡線的特性。如讓構件2固定不動，此時K2和C2都固 定不動。
如圖11.4-1所示，構件1上有曲線C1和K,1;構件
2上有曲線C2和K2。當C1和C2作純滾動時,K1和K2
始終相切，并且作連滾帶滑的運動。C1、C2為一對瞬心
線，而K1、K2 ,凡則為一對共軛曲線。共扼曲線有互為包
絡線的特性。如讓構件2固定不動，此時K2和C2都固
定不動。讓C1對C2作純滾動，則K1在K2上依次占據
K1、K1'、K''...等位置而形成一個曲線族。由圖可見，曲
線K2包絡了曲線K1的各個位置。稱k2為包絡線而K1,
為被包絡線。反過來，如果構件1固定不動，當C2對
C1作純滾動時，曲線K1將成為包絡線而k2變為被包絡
線。因此一對共軛曲線也是互為包絡線的曲線。從圖中
也可看到，過一對共軛曲線K1、K2的接觸點M, M'、
M''…作其公法線必定通過C1、C2兩瞬心線的接觸切
點P, p', p"…等瞬心。通過共軛曲線來傳遞運動的
機構稱為共扼曲線機構。共扼曲線機構一般可分為定
速比傳動和變速比傳動兩種類型。
定速比傳動的共扼曲線機構設計
1坐標轉換
設有1, 2兩齒輪，分別繞O1、O2旋轉，其中心距
為a，節圓半徑為r1和r2，節點為P，見圖11.4-2。
齒條r的節線在兩節圓的公切線位置。圖中設置了4
個坐標系，其中x1O1y1、x2o2y2、xroryr分別與輪1、
輪2及齒條r固聯，從初始位置起已各自轉動了φ1、
φ2角或移動了r1φ1=r2φ2距離。xPy為一固定坐標
系。今有一個公共點M，其在各個坐標系中的坐標
(x1、Y1)、(x2,Y2 )、(xr，Yr)及(x，y)是各不相
同的，其間的關系見表11.4-1。
上面討論的1、2兩輪是外嚙合情況，如果改成
內嚙合，將O2移到O1下面，表11.4-1仍然適用。
2應用包絡法求共轆曲線
根據一對共軛曲線具有互為包絡線的性質，所以當
給定其中一條曲線K1，可用包絡法求得另一曲線K2。
方法是先求得K1運動過程中在坐標系2上的一系列位
置，得到一個曲線族，然后作該曲線族的包絡線即為
K2。求曲線族方程可以用坐標轉換法來完成，即根據表
11.4-1中坐標系1和坐標系2間的坐標轉換式將曲線K1
式中的x1、Y1代以x2、Y2和φ1即為K1在坐標系2上的
曲線族方程(式中的φ2=φ1r1/r2)。然后應用微分幾何
求其包絡線，即得K2曲線。表11.4-2給出了根據不同
形式的K1方程，用包絡法求K2的計算公式。
例1 用包絡法求與矩形花鍵共轆的插齒刀齒廓
方程。
解 花鍵齒形與有關的坐標系見圖11.4-3。圖中
各坐標系都處于起始位置，花鍵齒廓方程為
3應用齒廓法線法求共轆曲線
根據齒娜嚙合基本定律，一對共扼齒廓在接觸點
的公法線必定通過節點P，見圖11.44。當給定凡
求K2時，可在K1上任選一點，找出該點進入嚙合位
置時的φ1角，再用坐標轉換法即可求得嚙合線和K2
曲線上的對應點。不斷改變K1上的點.求得的即是
嚙合線和K2曲線。具體的計算步驟如表11.4-3所
示。表中同時給出了當K1曲線具有不同的表達式時，
γ角的對應計算式。表中還給出了齒輪與齒條嗆合
時，已知K1曲線求Kγ曲線的計算式。
例2 用齒腳法線法求與矩形花鍵共軛的插齒刀
齒廓方程
4應用卡姆士定理求一對共軛曲線
應用卡姆士定理，當C1、C2和Cr三條節線互相
滾動時，如給出齒條齒廓曲線Kr(見圖11. 4-5 )，則
由K1求得的兩條共軛曲線K1和K2一定也互相共軛。
具體求解步驟見表11.4-4。這是用齒條形刀具加工一
對共扼齒廓的通用方法。但是應該注意的是當展成
K1和K2時，KR必須采用不同的實體，也即需要曲線
形狀相同但為鑲嵌式的Kr(1)和Kr(2)t兩把刀具才行。
5過渡曲線
用展成法加工齒輪時，刀具齒頂在被加工齒輪1
的輪齒根部形成一條過渡曲線，將齒廓共軛曲線段和
齒根圓弧段連接起來，見圖11.4-6和表11.4-5。
6共轆曲線的曲率半徑及其關系
已知不同形式的齒廓曲線方程，由表11.4-6可求
得曲線上各點的曲率半徑。一般情況下，齒廓曲線K1
方程比較簡單，故ρ1容易求。有時甚至于可不用公式
計算，直接從齒形上獲得。而齒廓曲線K2的方程往往
比較復雜，用表11.4-6求ρ2就更復雜。表11.4-7給
出了不通過k2方程，直接由ρ1求ρ2的方法。
例3 齒輪與齒條在節點P嚙合，已知齒輪輪齒
的曲率半徑ρ1,求齒條輪齒的曲率半徑ρr。
解 將表11.4-7中的齒輪2改成齒條r，則從嚙
合點到節點的距離r=0, rr→∞,故表11.4-7中的歐
拉一薩伐里公式可改寫成
7嚙合角、壓力角、滑動系數和重合度
一對共軛齒廓在傳遞運動過程，具有嚙合角、壓
力角、滑動系數及重合度等一些質量指標。這些質量
指標的定義、作用和計算公式見表11.4-8。
8嚙合界限點和干涉界限點
嚙合界限點和干涉界限點的概念及計算公式見表
11.4-9。。
例4 求矩形花鍵與其共軛齒廓的嚙合界限點和
干涉界限點。
解 在本章1.2節例題和本章1.3節例題中根據
給定的K1曲線(x1=-+b,y1=u),已求得y=π/2、
φ1=arccosu/r1，從表11.4-9中嚙合界限點的計算式
X1cosy+y1sin=r1得y1=r1，故得嚙合界限點x1=
-+b、 y1=r1及對應的φ1=0如圖11.4-8中的H點。
顯然，在初始位置過H點作齒廓的法線剛好和節圓
C1相切于節點P。根據干涉界限點的條件式
(責任編輯：laugh521521)
2上有曲線C2和K2。當C1和C2作純滾動時,K1和K2
始終相切，并且作連滾帶滑的運動。C1、C2為一對瞬心
線，而K1、K2 ,凡則為一對共軛曲線。共扼曲線有互為包
絡線的特性。如讓構件2固定不動，此時K2和C2都固
定不動。讓C1對C2作純滾動，則K1在K2上依次占據
K1、K1'、K''...等位置而形成一個曲線族。由圖可見，曲
線K2包絡了曲線K1的各個位置。稱k2為包絡線而K1,
為被包絡線。反過來，如果構件1固定不動，當C2對
C1作純滾動時，曲線K1將成為包絡線而k2變為被包絡
線。因此一對共軛曲線也是互為包絡線的曲線。從圖中
也可看到，過一對共軛曲線K1、K2的接觸點M, M'、
M''…作其公法線必定通過C1、C2兩瞬心線的接觸切
點P, p', p"…等瞬心。通過共軛曲線來傳遞運動的
機構稱為共扼曲線機構。共扼曲線機構一般可分為定
速比傳動和變速比傳動兩種類型。
定速比傳動的共扼曲線機構設計
1坐標轉換
設有1, 2兩齒輪，分別繞O1、O2旋轉，其中心距
為a，節圓半徑為r1和r2，節點為P，見圖11.4-2。
齒條r的節線在兩節圓的公切線位置。圖中設置了4
個坐標系，其中x1O1y1、x2o2y2、xroryr分別與輪1、
輪2及齒條r固聯，從初始位置起已各自轉動了φ1、
φ2角或移動了r1φ1=r2φ2距離。xPy為一固定坐標
系。今有一個公共點M，其在各個坐標系中的坐標
(x1、Y1)、(x2,Y2 )、(xr，Yr)及(x，y)是各不相
同的，其間的關系見表11.4-1。
上面討論的1、2兩輪是外嚙合情況，如果改成
內嚙合，將O2移到O1下面，表11.4-1仍然適用。
2應用包絡法求共轆曲線
根據一對共軛曲線具有互為包絡線的性質，所以當
給定其中一條曲線K1，可用包絡法求得另一曲線K2。
方法是先求得K1運動過程中在坐標系2上的一系列位
置，得到一個曲線族，然后作該曲線族的包絡線即為
K2。求曲線族方程可以用坐標轉換法來完成，即根據表
11.4-1中坐標系1和坐標系2間的坐標轉換式將曲線K1
式中的x1、Y1代以x2、Y2和φ1即為K1在坐標系2上的
曲線族方程(式中的φ2=φ1r1/r2)。然后應用微分幾何
求其包絡線，即得K2曲線。表11.4-2給出了根據不同
形式的K1方程，用包絡法求K2的計算公式。
例1 用包絡法求與矩形花鍵共轆的插齒刀齒廓
方程。
解 花鍵齒形與有關的坐標系見圖11.4-3。圖中
各坐標系都處于起始位置，花鍵齒廓方程為
3應用齒廓法線法求共轆曲線
根據齒娜嚙合基本定律，一對共扼齒廓在接觸點
的公法線必定通過節點P，見圖11.44。當給定凡
求K2時，可在K1上任選一點，找出該點進入嚙合位
置時的φ1角，再用坐標轉換法即可求得嚙合線和K2
曲線上的對應點。不斷改變K1上的點.求得的即是
嚙合線和K2曲線。具體的計算步驟如表11.4-3所
示。表中同時給出了當K1曲線具有不同的表達式時，
γ角的對應計算式。表中還給出了齒輪與齒條嗆合
時，已知K1曲線求Kγ曲線的計算式。
例2 用齒腳法線法求與矩形花鍵共軛的插齒刀
齒廓方程
4應用卡姆士定理求一對共軛曲線
應用卡姆士定理，當C1、C2和Cr三條節線互相
滾動時，如給出齒條齒廓曲線Kr(見圖11. 4-5 )，則
由K1求得的兩條共軛曲線K1和K2一定也互相共軛。
具體求解步驟見表11.4-4。這是用齒條形刀具加工一
對共扼齒廓的通用方法。但是應該注意的是當展成
K1和K2時，KR必須采用不同的實體，也即需要曲線
形狀相同但為鑲嵌式的Kr(1)和Kr(2)t兩把刀具才行。
5過渡曲線
用展成法加工齒輪時，刀具齒頂在被加工齒輪1
的輪齒根部形成一條過渡曲線，將齒廓共軛曲線段和
齒根圓弧段連接起來，見圖11.4-6和表11.4-5。
6共轆曲線的曲率半徑及其關系
已知不同形式的齒廓曲線方程，由表11.4-6可求
得曲線上各點的曲率半徑。一般情況下，齒廓曲線K1
方程比較簡單，故ρ1容易求。有時甚至于可不用公式
計算，直接從齒形上獲得。而齒廓曲線K2的方程往往
比較復雜，用表11.4-6求ρ2就更復雜。表11.4-7給
出了不通過k2方程，直接由ρ1求ρ2的方法。
例3 齒輪與齒條在節點P嚙合，已知齒輪輪齒
的曲率半徑ρ1,求齒條輪齒的曲率半徑ρr。
解 將表11.4-7中的齒輪2改成齒條r，則從嚙
合點到節點的距離r=0, rr→∞,故表11.4-7中的歐
拉一薩伐里公式可改寫成
7嚙合角、壓力角、滑動系數和重合度
一對共軛齒廓在傳遞運動過程，具有嚙合角、壓
力角、滑動系數及重合度等一些質量指標。這些質量
指標的定義、作用和計算公式見表11.4-8。
8嚙合界限點和干涉界限點
嚙合界限點和干涉界限點的概念及計算公式見表
11.4-9。。
例4 求矩形花鍵與其共軛齒廓的嚙合界限點和
干涉界限點。
解 在本章1.2節例題和本章1.3節例題中根據
給定的K1曲線(x1=-+b,y1=u),已求得y=π/2、
φ1=arccosu/r1，從表11.4-9中嚙合界限點的計算式
X1cosy+y1sin=r1得y1=r1，故得嚙合界限點x1=
-+b、 y1=r1及對應的φ1=0如圖11.4-8中的H點。
顯然，在初始位置過H點作齒廓的法線剛好和節圓
C1相切于節點P。根據干涉界限點的條件式
(責任編輯：laugh521521)
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